正经聊聊杨振宁的封神之作：两头押注，两头赚翻

刘萝卜锅

本文转自微信公众“ESSCAGROUP”

杨-米尔斯理论，宇称不守恒，知名者多，知理者少。这不怪任何人，只怪这两个理论实在是太过高深。

想要了解它们，必须复习两个高深的小学数学知识：对称、不对称。

在群雄逐鹿宇宙秘地的乱局中，杨振宁左边押注对称，右边买定不对称，两头通吃，赚足了问鼎物理神坛的资本。

说到对称，比较直观的是几何图形，通过旋转、平移、对折等变换操作，出现有规律的重复、统一，这种现象就叫对称。或者叫“不变性”。

自然规律也是这样，通过变换操作，出现对称性。

苹果从树上掉下来，你左看右看前看后看，俯视仰视斜视藐视，它加速飞向地心方向的规律都不变，那么牛顿定律就有旋转对称性。这是一种空间对称性。

在牛顿之前，伽利略就意识到，假如你在时速40公里、匀速直线航行的泰坦尼克号里面做运动，或者做运动实验，不管怎么折腾，你都会发现，无论运动感受，还是实验结果，都和在岸上做同样的事没有任何区别。



船上人与岸上人相互观察，都可以认为自己是静止的，而对方以40公里时速在运动。对于不同参考系，运动是相对的。

你知道这当然也属于空间对称性。但是这还没完。

如果你在船上，以30公里时速顺着航向扔出一只二哈，那么在地面参考系的人看来，这只二哈的时速就是40+30=70公里。同样的，二哈以自身为参考系，发现岸上人正以70公里时速离自己远去。

而假如岸上人以10公里时速朝反方向暴走，那么他和二哈的相对速度就是40+30+10=80公里。

这就是速度叠加。

通过简单的速度叠加“变换”，就搞定了不同参考系之间，同一规律下的运动关系，换句话说，就获得了力学规律在匀速直线运动参考系变换下的不变性。这就是伽利略变换。

你可以利用参考系变换下的对称性，推导出动量守恒定律。

刘萝卜锅

牛顿集近代物理大成、搭现代科学框架，所创建的力学体系，在空间各向上，都是恒定的——角动量守恒、动量守恒，都属于空间对称，一个是旋转对称，一个是平移对称。

顺着这个思路，我们就可以理解，能量守恒，其实是能量的时间平移对称。

牛顿功法句句不聊对称，但招招式式透着对称的底蕴，一举统领了天地万物的运动。

拉格朗日对此大为震撼，但是不爽以力为基本概念的体系，F=ma看着简洁，但用起来，动不动要在直角坐标系拆分矢量分量、搞一堆方程，才能解出高中物理题。




所以，他要从数学分析的角度，引入欧拉变分法，重新诠释牛顿力学。

所谓欧拉变分法，简单讲，是微积分的升级版，普通微积分是从函数中找极值点，欧拉变分法是从泛函中找极值函数，这就可以自然而然地处理很多物理量，比如最小作用量、电磁作用量等等。

拉格朗日从运动系统中，提取动能与势能之差，得到一个标量——拉格朗日量，作为核心物理量。这让他能够以能量为基本概念，从最小作用量原理出发，引进广义坐标概念，得到F=ma的普适化升级版方程——欧拉-拉格朗日方程。



牛顿体系的所有对称性，被拉格朗日方程不动声色地贯彻其中。

刘萝卜锅

而在神秘炫酷的电磁世界，电磁王麦克斯韦却把对称大张旗鼓地写在了脸上——



不信你看麦克斯韦方程组的微分形式：



你再瞅瞅麦克斯韦方程组的积分形式：



不要在意细节，不用看懂方程，你扫一眼就能看懂它的对称。这组方程大概是在说：

电荷生电场，密度两相匹；
磁力生两极，闭合不外溢；
电动生磁场，磁动生电场；
环环紧相扣，绵绵无绝期......

看看，这组诞生于1860年代的方程，从形式上看，是不是像我们老祖宗的对联一样对称？

而爱因斯坦看到的，当然不止是方程形式上的对称，他洞察出了更深层次的意义。

麦克斯韦方程表示，在任何参考系下，光速都恒定不变。

意思是，光速只做自己，不与任何人叠加。

而在牛顿力学治下，不同参考系下的相对运动，任何速度，从来是，一定要，叠，加，的。

好吧，统治物理学两大领域的两大阵营，就这样不共戴天了。

眼看要搞特别行动，撕碎和平的梦，张伯伦，川普，洛伦兹挺身而出，发了个推：两位大帝都没错，都是运动物体东扩哦不收缩的错！



洛伦兹考虑运动物体收缩，使用数学手段，甩出了洛伦兹变换，掩盖了二者的物理本质矛盾，宣称：签了这份协议，双方就地停战，各自宣布胜利就可以了。

刘萝卜锅

爱因斯坦当然不欣赏这种绥靖政策。

他凭着独特而雄浑的物理美学功力，敏锐洞察出“保留麦克斯韦方程不变的洛伦兹变换”背后的深刻物理意义，假定物理规律在空间、时间上都对称，要求“在匀速直线参考系变换操作下，物理规律不变”，于1905年建立了狭义相对论，这是牛顿力学的升级版，可以和电磁学在同一片天地下愉快地玩耍了。

这还没够，10年后，爱因斯坦得寸进尺，又要求普遍的坐标对称性，运用黎曼几何掰弯时空，建立了广义相对论，把引力收入相对论麾下。

让我们再看仔细些——

狭义相对论的基本原理：真空中的光速不变，也叫光速不变原理；匀速直线参考系中的物理定律不变，也叫相对性原理。

广义相对论的基本原理：任何参考系中的物理定律都不变，也叫广义相对性原理；物质在惯性力场与引力场中的动力学效应不变，也叫等效原理。

为了好懂，没有照搬严格的专业定义语句。但这些不重要，我们只要感受其中对称性的地位就好了。

爱因斯坦的神奇之处，就是挖到靠谱的对称性，创造性地运用欧几里得搭建平面几何大厦的方法——从基本假设出发，展开逻辑演绎，构建了现代物理学的两大支柱之一：相对论。

在这里，我们不要在意爱因斯坦打开了物理学发展的新世界，而要聚焦不变-对称性。所以，当人们把他的理论叫做“相对论”时，爱因斯坦是心累的，他宁可叫“不变论”。可见对称性在爱因斯坦物理美学中的地位。

嗯，现在我们知道了，麦克斯韦描述的电磁力，爱因斯坦描述的引力，都切合了对称性的框架。而通过描述这两种力，统一各自的领域，就是令二位堪与牛顿比肩的成就。

好吧，站在这些大牛的肩膀上，我们的主线故事终于可以开始了。咳咳......

要是哪一位能把引力和电磁力也统一了，岂不是也可以和这三位肩并肩，搞个四大天王组合？这个想法简直让活着的物理大牛们都美出了鼻涕泡。

在那段激情燃烧的岁月，物理学家正在为统一电磁力与引力捉急，突然主线任务难度连翻两番——强力和弱力接连被发现，待统一的神秘疆土急剧扩大。

于是，集齐了宇宙四种基本力的物理学家，凭空就多了一个不可能的任务——召唤四力统一的宇宙终极理论大龙珠。

这，是物理学家的最高使命。

刘萝卜锅

但完成使命的前提是，先要正确描述强力和弱力，然后能统一几个是几个。

梦想是美好的，然而描述新生力，以及统一彼此，都缺乏底层基础——瞌睡来了，谁送枕头呢？

其实枕头已经悄悄送到了。1917年前后，德国女数学家诺特低调出手，深度八卦了对称与守恒之间相爱相杀的亲密关系。

话说，爱因斯坦广义相对论的场方程一发布，就引发了“能量危机”，按照能量的传统定义，它不适应弯曲时空下的守恒操作。

这个问题要是解决不了，能量守恒和广义相对论必有一死。

擅长变分法的诺特，从最小作用量原理出发，运用不变变分法，证明了弯曲时空下，系统总能量依然守恒，让能量可以在广相时空接着奏乐接着舞了。

而在这场相对论保卫战中，天才的诺特提出一个问题：“一个作用量在连续变换下保持不变时，会发生什么？”

诺特感觉，这里面包含着一个更普遍的原理。于是转眼看向欧拉-拉格朗日方程，揭开了它欲诉还休的隐含深意。

这款方程结构天然兼容对称性对应的守恒，对称性的核心载体，就是拉格朗日量。

她依托这个框架，按照“拉格朗日量的连续对称性→作用量的变分不变→结合拉格朗日方程→导出守恒量”的思路，得到了诺特定理。

简单讲：作用量的每一种对称性，都对应一个守恒定律、有一个守恒量。

也就是说，你可以顺着守恒量挖到一个对称性，也可以顺着对称性挖到一个守恒量。这个很重要，所以再说一遍：对称性、守恒量，是一对对相杀相爱的神秘道侣。

你挖掘到一对神秘道侣的真实关系，就揭开了一个宇宙秘密。相当于说，诺特找到了一套挖宝秘笈。

再直白一点，你顺着某个守恒定律，挖到它背后的对称性，然后通过数学搞定这个对称性，相应的物理理论就显现出来了。

这个成果对物理学来讲，可以说是枕头非常基础了，所以后来它被作为理论物理的中心结果之一来看待。

刘萝卜锅

不得不说，在那个群星璀璨的年代，各路大神令人眼花缭乱。

德国大数学家、物理学家外尔就是大神之一，他受到爱因斯坦研究的鼓舞，死磕引力与电磁作用，引入校准变换（规范）的思想，试图为电磁理论挖出像相对论那样深层的对称性，通过数学手段，运用时空几何性质，把引力场和电磁场统一起来。



1918年，外尔发表了规范场论的发轫之作，挖到了电荷守恒的对称性道侣，外尔起初管它叫“校准恒定性”，用的当然是德文，然后被翻译成英文的“规范不变性”，这个名称后来被广泛应用。

啥叫“规范不变”呢？就拿我们都喜欢看的分形几何图案来说吧，比如鼎鼎大名、人称“上帝指纹”的曼德勃罗集：

视频提示：两倍速看效果更佳

（视频来自网络）

这个无比复杂的图形，似乎蕴藏着无穷无尽的信息，你放大它的动作不停，它展示的细节就永无止境。


它的变化充满混沌效应，似乎没有规律可循，但无处不在的内在秩序，却又时时震撼着你的灵魂，你看到的每一个局部，既与整体不同，又像套娃那样具有自相似性......恭喜你，你看到了某种强烈的内在对称性。

假如让你一板一眼地去刻画它，你肯定做不到，但应该会想到一个“窍门儿”——既然它是有秩序的、嵌套式自相似的，那么能不能找到那个不变的秩序内核？有了它，那些看似千变万化的具体变量就都是冗余的信息。

这个不变的秩序内核就是：



丰富如宇宙的曼德勃罗集，由这个简单的公式定义。通过不断迭代计算，得到的点集，就刻画了那无穷无尽的信息。

你拨开冗余变量的迷雾，找到不变的秩序内核，就可以展开规范变换，更简洁、更根本地描述整体。这个思想用到物理理论上，其内在对称，就是“规范不变”。



假如，深邃的A区是相对论，神秘的B区是电磁论，只要搞定它们的规范不变性，就可以建立它们的底层变换关系——甩出那个公式，把A与B，和平统一到“宇宙真理集”之中。

这就是外尔的野心。

他拿到电磁势描述的冗余因子——任意函数θ，攒成一个规范变换因子，植入广义相对论的时空度规张量，让它在数学形式上把电磁场囊括其中。欧耶~可以拿给偶像爱因斯坦看了。

爱因斯坦从数学角度一通猛赞，又从物理角度一顿狠批——那个植入虽然在数学上很美，却把物理时空的钟尺标度搞得混乱不堪，不能忍。

被偶像蛐蛐一通，外尔很失落，但雄心尚在。

刘萝卜锅

1927年，德国著名物理学家、量子化学奠基人伦敦认为，外尔提出的那个关于恒定性或者对称性变换因子，应该是薛定谔波动方程中的相位因子。



换句话说，外尔挖到的电荷守恒的那个神秘道侣，其实就是波函数相位的不变性。

相位好理解，月有月相，波有相位，都是周期运动中，到达特定位置时，其对应的状态。

所谓相位不变性，拿月亮来讲，如果它在这里是上弦月，你给它做一个相位变换，它就在对应位置产生一个下弦月。波函数相位不变性同理。我们还是按照习惯叫它规范不变性。

说到波函数，外尔当然不陌生，因为这玩意，恰好在他的好朋友薛定谔的神作、量子力学的核心公式“薛定谔方程”的统领之下。



外尔从善如流，绕开统一电磁力和引力的大坑，瞄准电磁场和电子的相互作用，他放过了度规张量，把相位变换因子用在了电子标量场上，引入了虚数i。于是，规范场就带着电子的波动性，走进了量子力学。

电子行为，本就在量子力学治下。波动的电子在规范变换中，成了电磁场的最佳舞伴。而它们的成功，只是量子规范场发展的起点。

现在外尔知道了，电荷为啥要守恒？因为波函数相位变换背后的规范不变性。外尔还知道，规范不变性有两种。

先欣赏第一种，全局变换——


（图片来自网络）

经常欣赏老式霓虹灯广告牌的道友都知道，无论这种广告牌可以变换多少花样，本质上都是利用“时序控制电路”，按照时间顺序，统一控制每一个灯的开关，让牌子上的灯按照要求亮、灭。

灯光变换的时间点，每只灯的位置，及其亮、灭的顺序，都是固定的，得到的图像当然也是整体固定的。这种变换，我们可以理解为全局变换。它背后的“时序控制设定”，就相当于全局规范不变性。

外尔引入的是一个常数相位因子，可以完成整体相位变换，这种对称性，通过诺特定理，可以导出电荷守恒，得到不随时空变化的总电荷。


（图片来自网络）

这时你明白了，外尔搞出来的，应该是电子行为中的一个特例，或者说是电磁理论的一个切片。

刘萝卜锅

这也相当了不起了，相对论建立后，牛顿力学就是相对论下的特例。而相对论就是宇宙奥秘中的一个大切片——取得这个共识，我们就可以接着聊灯光广告的事了。



经常欣赏无人机表演秀的道友都知道，无人机灯光秀不仅可以复刻老式霓虹灯的所有效果，还可以变换形态、位置，这就让无人机可以创造的视觉效果，甩老式霓虹灯N条街。

原理也很好理解：每一只参演的灯——无人机，都有自己的唯一ID，在系统中，它们都有各自的——也可以叫局域的——自由度，包括灯光切换、定位通信、飞行控制等。

这样，就可以通过主控计算机，运行无人机表演秀的中央控制系统，按照设定程序、规划路径，操纵每一只无人机进行各自的——也可以叫局域的——变换，换句话说，每个点位的变换都可以独立进行，从而实现整体的千变万化。这就是规范不变性的第二种变换：局域变换。它背后的“中央控制系统”，可以理解为局域规范不变性。

全局对称性，是局域对称性的特例，就像正方形是矩形的特例一样。

描述对称性，落实到数学上，群论当然是最专业的。

数学上的群，就相当于“对称变换操作工具箱”。

比方说你给正方形搞一个对称群工具箱——数学上就是一个集合，里面就装着“180度旋转”、“水平轴翻转”之类的规范操作，共包含8个工具，不管你怎么组合这些操作，正方形的形状都不变——现在我们可以理解：为一个对称到一个适配的群，就可以在规范操作下，保持其对称性不变。

数学十项全能的外尔就是群论高手。所以，他顺手找到了U(1)群，恰好可以刻画电荷守恒的道侣：规范对称性。

让电荷老老实实守恒的“幕后黑手”，是全局规范不变性。

数理哲全通的外尔当然不会满足于特例，而当他尝试让整体规范性对称推广到局域时，整个电磁学理论，就显现出了更底层的基础。

刘萝卜锅

1940年代初，被称为爱因斯坦继承人、物理学上帝之鞭的奥地利裔物理学家泡利，在此基础上继续深挖，严格证明了电荷守恒对应的规范对称性适配的群，就是U(1)群。



从U(1)群规范对称性出发，可以得到整个电磁理论。

外尔开始拿到的全局不变性，你把相位因子放到时空变化之中，全局不变性就绷不住了。

想象一下，你拿着成型的老式霓虹灯广告牌，一通按压拉伸，企图揉捏成你想要的形态，它不崩就见鬼了。

因为广告牌上的东西都缺乏“协变性”。

在相对论框架下，麦克斯韦方程、牛顿定律等，可以通过四维时空数学基础，实现洛伦兹变换下的协变性。

啥叫协变性？

我们粗糙理解，就是物理定律的数学形式在变换下，保持定律的性质不变。

比方说皮球，你挤压它的任何一块区域——局域，挤压区的皮革产生形变时，其他区域会跟着配合——协同变换，皮球还是皮球——保持系统性质的不变性，这就可以理解为“有协变性”。

同样操作，换成灯泡，你懂的，它就崩成碎玻璃碴，它就不是灯泡了，它没协变性。

所以你想让它有协变性，处理流程的关键一步，就是把灯泡烤热玻璃变软，哦不，把方程中的那个普通导数，替换成协变导数。

而适配的协变导数，所引入的规范场，就对应光子场。

换句话说，通过找到电荷守恒的道侣——规范不变性，把它推广到局域不变性，自然就得到了电磁相互作用的本质——光子交换。

这意味着，局域规范不变性，直接决定了电磁相互作用。

刘萝卜锅

好吧，现在从对称性出发，可以从更基本的层面搞定电磁力——那么，强力、弱力两兄弟，是不是也可以照样拉进来，形成各自的理论，甚至再大胆一点，形成统一的理论？

年轻的杨振宁为这个宏大愿景而沉醉、战栗。就算为通往目标之路铺上一块砖，也是一个物理学家的终生荣耀。



机会总是留给有准备的人，而杨振宁自出生就开始了他的准备——拥有一个擅长群论，且擅长教育的数学家父亲。华罗庚、陈省身都曾是杨爸杨武之的弟子。

让我们重新认识一下，西南联大的杨振宁同学——

大一由核物理学家赵忠尧打基础。

大二由中国物理学研究的“开山祖师”吴有训教电磁学。

此外，

由中国近代力学奠基人周培源教力学。

在理论物理学家马仕俊的课上听规范场。

在中国物理学之父吴大猷的引导下，面朝群论，关心守恒与对称......


1942年，在吴大猷指导下，杨振宁完成题为《群论与多原子分子的振动》的毕业论文，随即入学清华大学读研，师从中国热力学统计物理研究开拓者王竹溪。

这是物理学的黄金年代。那些必然彪炳史册的在世大师，因二战而向美国汇聚。

1945年，杨振宁作为第六期“庚款兴学”留学生抵美留学。

次年师从氢弹之父泰勒。

与粒子物理学领军人物、弱力理论创始人费米交往甚密。

后来在二位的推荐下，进入普林斯顿高等研究院，当时院长是原子弹之父奥本海默。

奥本海默说，他最喜欢看到的景象，就是杨振宁、李政道走在普林斯顿的草地上。

而那片草地上，常有爱因斯坦、哥德尔、冯·诺依曼、外尔、汤川秀树等一干大神出没......

这时的杨振宁，熟稔群论工具，又在粒子物理、凝聚态物理、统计力学等前沿领域突进深入，自然而然地，在他给自己找的四个研究课题中，包括了1941年泡利关于场论的综合报告。

他的目标是，在强力、弱力领域，进一步推广规范场论。

拿什么挖到强力、弱力领域背后的局域规范对称性？

当然是根据诺特定理，先看这个领域的守恒定律有没有。

还真有：同位旋守恒。

同位旋怎么来的呢？

1932年，量子论创立人之一海森堡为了解释原子核内的作用力，在讨论质子和中子时，发现这俩家伙除了一个带电，一个不带电，其余性质，简直差不多就像是一个人儿。



于是海森堡略施手段，把这俩看成同一种粒子的两种不同状态——假装想象一下：

你在某个抽象的空间里，进行某种抽象的旋转。

朝“上”旋就带电，你是质子；

朝“下”转就不带电，你是中子。

这个抽象的所谓“旋转”，就是同位旋。

质子、中子们，不管怎么搭配，质中配、中中配、质质配，它们之间的强相互作用都是相同的、守恒的，也就是不变的。

上面综合起来就是：强力具有同位旋空间下的旋转不变性。

同位旋守恒不是一个完全的守恒定律，因为它在电磁力、弱力下就不灵了。

但这无妨杨振宁的决心——把规范不变性推广到同位旋守恒。就算最初几年的屡战屡败，也没有削弱他对这个课题的兴趣。

这期间，许多介子被发现。杨振宁就想，能不能像外尔所做的，在电磁局域变换推广时引入光子场那样，搞一个规范场，来描述这些粒子的相互作用？

1953年，杨振宁访问布鲁克海文国家实验室，和正在读博的米尔斯讨论了他的想法。



杨、米尔斯的讨论和合作，把项目推向了成功。

基本思路当然还是顺着外尔电磁场论建设方向，尝试让局域同位旋不变也产生传递作用力的粒子，从U(1)群继续推广到非阿贝尔群，遵循“规范不变+最小耦合+洛伦兹不变”原则，构造杨-米尔斯作用量，对其分别进行关于物质场、规范场的变分，尝试使用二次的多项式，让计算变得更顺利，如此等等。

整个过程，当然是以杨振宁为主导。

1954年，他们“写出了漂亮的规范场方程式”（杨振宁语）。



这里面的关键突破，就是从阿贝尔群，推广到非阿贝尔群。