PLA（感知器算法）

姜宝胜

引入这样一个例子：某银行要根据用户的年龄、性别、年收入等情况来判断是否给该用户发信用卡。现在有训练样本D，即之前用户的信息和是否发了信用卡。这是一个典型的机器学习问题，我们要根据D，通过A，在H中选择最好的h，得到g，接近目标函数f，也就是根据先验知识建立是否给用户发信用卡的模型。银行用这个模型对以后用户进行判断：发信用卡（+1），不发信用卡（-1）。

我们把用户的个人信息作为特征向量x，令总共有d个特征，每个特征赋予不同的权重w，表示该特征对输出（是否发信用卡）的影响有多大。那所有特征的加权和的值与一个设定的阈值threshold进行比较：大于这个阈值，输出为+1，即发信用卡；小于这个阈值，输出为-1，即不发信用卡。感知机模型，就是当特征加权和与阈值的差大于或等于0，则输出h(x)=1；当特征加权和与阈值的差小于0，则输出h(x)=-1，而我们的目的就是计算出所有权值w和阈值threshold。

为了更清晰地说明感知机模型，我们假设Perceptrons在二维平面上，直线一侧是正类（+1），直线另一侧是负类（-1）。权重w不同，对应于平面上不同的直线。

根据上一部分的介绍，我们已经知道了hypothesis set由许多条直线构成。接下来，我们的目的就是如何设计一个演算法A，来选择一个最好的直线，能将平面上所有的正类和负类完全分开，也就是找到最好的g，g≈fg≈f。

如何找到这样一条最好的直线呢？我们可以使用逐点修正的思想，首先在平面上随意取一条直线，看看哪些点分类错误。然后开始对第一个错误点就行修正，即变换直线的位置，使这个错误点变成分类正确的点。接着，再对第二个、第三个等所有的错误分类点就行直线纠正，直到所有的点都完全分类正确了，就得到了最好的直线。这种“逐步修正”，就是PLA思想所在。

下面介绍一下PLA是怎么做的。首先随机选择一条直线进行分类。然后找到第一个分类错误的点，如果这个点表示正类，被误分为负类，即那表示w和x夹角大于90度，其中w是直线的法向量。所以，x被误分在直线的下侧（相对于法向量，法向量的方向即为正类所在的一侧），修正的方法就是使w和x夹角小于90度。通常做法是w←w+yx, y=1w←w+yx, y=1，如图所示，一次或多次更新后的w+yx与x夹角小于90度，能保证x位于直线的上侧，则对误分为负类的错误点完成了直线修正。

同理，如果是误分为正类的点，即wT*xn(t)>0，那表示w和x夹角小于90度，其中w是直线的法向量。所以，x被误分在直线的上侧，修正的方法就是使w和x夹角大于90度。通常做法是">w←w+yx, y=−1w←w+yx, y=−1，一次或多次更新后的w+yx夹角大于90度，能保证x位于直线的下侧，则对误分为正类的错误点也完成了直线修正。

按照这种思想，遇到个错误点就进行修正，不断迭代。要注意一点：每次修正直线，可能使之前分类正确的点变成错误点，这是可能发生的。但是没关系，不断迭代，不断修正，最终会将所有点完全正确分类（PLA前提是线性可分的）。这种做法的思想是“知错能改”。

实际操作中，可以一个点一个点地遍历，发现分类错误的点就进行修正，直到所有点全部分类正确。这种被称为Cyclic PLA。

PLA算法修正图解和Guarantee of PLA证明见附件。

总结：感知器算法具有实现简单，操作快，可以在任何维度实现的优点，但是必须假设数据是线性可分，不确定运算时间。主要用于二元分类问题。对于非线性可分问题可以将PLA进行改进，改为Packet Algorithm。具体见附件。